Question

9．设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，其准线和x轴的交点为C，经过点F的直线l与抛物线相交于A、B两点，若CB⊥AB，则|AF|-|BF|=（　　）

• A． $\frac{P}{2}$
• B． -$\frac{P}{2}$
• C． 2P
• D． -2P

Answer 1

分析 先假设方程与抛物线方程联立，借助于求出点A的坐标，从而求出线段长，进而求出|AF|-|BF|．

解答 解：设AB方程为：y=k（x-$\frac{p}{2}$）（假设k存在），与抛物线y²=2px（p＞0）联立得k²（x²-px+$\frac{{p}^{2}}{4}$）=2px，
即k²x²-（k²+2）px+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0
设两交点为A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），∠CBF=90°即（x₁-$\frac{p}{2}$）（x₁+$\frac{p}{2}$）+y₁²=0，
∴x₁²+y₁²=$\frac{{p}^{2}}{4}$，∴x₁²+2px₁-$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，即（x₁+p）²=$\frac{5}{4}$p²，解得x₁=$\frac{-2+\sqrt{5}}{2}$p，
∴B（$\frac{-2+\sqrt{5}}{2}$p，$\sqrt{-2+\sqrt{5}}$p），|BQ|=$\frac{\sqrt{-1+\sqrt{5}}}{2}$p，|BF|=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$p，
∵x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，x₁=$\frac{-2+\sqrt{5}}{2}$p，
∴x₂=$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$p
∴A（$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$p，-$\sqrt{2+\sqrt{5}}$p），|AF|=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$p，
∴|AF|-|BF|=2p，
故选：C．

点评 直线与曲线相交问题，通常是联立方程组成方程组，从而可求相关问题．