Question

18．从集合{1，2，3，4，5，6，7}中任取五个不同元素构成数列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中是a₃是a₁和a₅的等差中项，且a₂＜a₄，这样的数列共有108．

Answer 1

分析 a₃是a₁和a₅的等差中项，可得2a₃=a₁+a₅，从集合{1，2，3，4，5，6，7}中任取五个不同元素，其中3个满足a₃是a₁和a₅的等差中项的共有18组：1，2，3；3，2，1；…．其中对于每一组等差数列，且a₂＜a₄的可有：${∁}_{4}^{2}$=6组满足．即可得出．

解答 解：∵a₃是a₁和a₅的等差中项，
∴2a₃=a₁+a₅，
从集合{1，2，3，4，5，6，7}中任取五个不同元素，
其中3个满足a₃是a₁和a₅的等差中项的共有18组：1，2，3；3，2，1；1，3，5；5，3，1；1，4，7；7，4，1；2，3，4；4，3，2；2，4，6；6，4，2；3，4，5；5，4，3；3，5，7；7，5，3；4，5，6；6，5，4；5，6，7；7，6，5．
其中对于每一组等差数列，且a₂＜a₄的可有：${∁}_{4}^{2}$=6组满足．
∴这样的数列共有18×6=108组．
故答案为：108．

点评 本题考查了等差数列的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．