Question

已知，．

（1）设，求函数的图像在处的切线方程；

（2）求证：对任意的恒成立；

（3）若，且，求证：．

 

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求导函数，由导数的几何意义知，切线斜率为，利用直线的点斜式方程可求；（2）构造函数，只需证明函数的最小值大于等于0即可，先求导得，，因导数等于0的根不易求出，再求导得，，可判断，故递增，且，故在单调递减，在单调递增 ∴得证；（3）结合已知条件或已经得到的结论，得证明或判断的条件，是构造法求解问题的关键，由（2）知，依次将代数式放大，围绕目标从而证明不等式.

试题解析：（1），，则 ，∴图像在处的切线方程为即 3分

（2）令， 4分

则

∵与同号 ∴ ∴

∴ ∴在单调递增 6分

又，∴当时，；当时，

∴在单调递减，在单调递增 ∴

∴ 即对任意的恒成立 8分

（3）由（2）知 9分

则

11分

由柯西不等式得

∴ 13分

同理

三个不等式相加即得证。 14分

考点：1、导数的几何意义；2、利用导数求函数的极值和最值；3、柯西不等式.