题目内容
4．已知a1=1，an+1=an-3an+1an，证明：{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列．分析 将关系式“an+1=an-3an+1an”两边同除以an+1an，化简整理可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=3，再由等差数列的定义即可证明结论．
解答 证明：由题意得，an+1=an-3an+1an，
两边同除以an+1an可得，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-3，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=3，又a1=1，
所以数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以3为公差、1为首项的等差数列．
点评 本题考查等差数列的证明方法：定义法，以及数列递推公式的化简，属于中档题．
练习册系列答案
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