题目内容
19．求函数f（x）=ex．（x≤1）的切线与坐标轴围城的三角形面积的最大值．分析 求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，以及切线和坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式即可得到结论
解答 解：∵f（x）=ex，∴f′（x）=ex，
设点P（x0，f（x0））的切线方程为y-ex0=ex0（x-x0），
令x=0，解得y=ex0（1-x0），
令y=0，解得x=x0-1，
∵x0≤1，∴x=x0-1≤0，
则切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=$\frac{1}{2}$|x0-1|ex0（1-x0）=$\frac{1}{2}$ex0（1-x0）2，
则S′=$\frac{1}{2}$ex0（-1+x02），
∴当x0＜-1时，S′＞0，函数单调递增，
当-1＜x0＜0时，S′＜0，函数单调递减，
即当x0=-1时，函数取得极大值也是最大值，
∴此时最大值为$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{e}×4$=$\frac{2}{e}$．
所以函数f（x）=ex．（x≤1）的切线与坐标轴围城的三角形面积的最大值为$\frac{2}{e}$．
点评 本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值和极值，综合性较强，运算量较大，属于中档题．
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9．如图，PA⊥面ABC，△ABC中BC⊥AC，则△PBC是（ ）
| A． | 直角三角形 | B． | 锐角三角形 | C． | 钝角三角形 | D． | 以上都有可能 |
10．若函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$，并且$\frac{π}{3}$＜a＜b＜$\frac{2π}{3}$，则下列各结论中正确的是（ ）
| A． | f（a）＜f（$\sqrt{ab}$）＜f（$\frac{a+b}{2}$） | B． | f（$\sqrt{ab}$）＜f（$\frac{a+b}{2}$）＜f（b） | C． | f（$\sqrt{ab}$）＜f（$\frac{a+b}{2}$）＜f（a） | D． | f（b）＜f（$\frac{a+b}{2}$）＜f（$\sqrt{ab}$） |
7．将函数y=sin$\frac{x}{2}$的图象按向量$\overrightarrow{a}$平移后，得到y=cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）的图象，则向量$\overrightarrow{a}$的坐标可能为（ ）
| A． | （$\frac{π}{2}$，0） | B． | （-$\frac{π}{2}$，0） | C． | （$\frac{π}{4}$，0） | D． | （-$\frac{π}{4}$，0） |
9．若α适合条件sin$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{1+sinα}$+$\sqrt{1-sinα}$），则$\frac{α}{2}$的取值范围是（ ）
| A． | [2kπ，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z | B． | [2kπ+$\frac{π}{2}$，（2k+1）π]，k∈Z | ||
| C． | [2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z | D． | [2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$]，k∈Z |