题目内容

如图，已知直线l：x=my+1过椭圆 $数学公式$ 的右焦点F，抛物线： $数学公式$ 的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且 $数学公式$ ，当m变化时，探求λ₁+λ₂的值是否为定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点 $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，
抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ∴b²=3
∴a²=b²+c²=4∴椭圆C的方程 $\text{[math]}$

（Ⅱ）易知m≠0，且l与y轴交于 $\text{[math]}$ ，
设直线l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由 $\text{[math]}$
∴△=（6m）²+36（3m²+4）=144（m²+1）＞0
∴ $\text{[math]}$
又由 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
同理 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
所以，当m变化时，λ₁+λ₂的值为定值 $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（4，y₁），E（4，y₂）
方法1）∵ $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∴点 $\text{[math]}$ 在直线l_AE上，
同理可证，点 $\text{[math]}$ 也在直线l_BD上；
∴当m变化时，AE与BD相交于定点 $\text{[math]}$
方法2）∵ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∴k_EN=k_AN∴A、N、E三点共线，
同理可得B、N、D也三点共线；
∴当m变化时，AE与BD相交于定点 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由题设条件能够求出c=1，b= $\text{[math]}$ ，从而求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程组，由根与系数的关系推导λ₁+λ₂的值．
（Ⅲ）由题设条件想办法证明点 $\text{[math]}$ 在既直线l_AE上，又在直线l_BD上，∴当m变化时，AE与BD相交于定点 $\text{[math]}$ ．
点评：本题是椭圆的综合应用题，有一定的难度．解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细作答．