Question

（2012•乐山二模）如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线G；x=a²上的射影依次为点D、K、E，若抛物线x²=4

3

y的焦点为椭圆C的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线L交y轴于点M，

MA

=λ₁

AF

，

MB

=λ₂

BF

，当M变化时，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

分析：（1）求出抛物线的焦点，可得b的值，结合F的坐标，即可确定椭圆的方程；
（2）直线x=my+1代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可求λ₁+λ₂的值．

解答：解：（1）抛物线x²=4

3

y的焦点为（0，

3

），且为椭圆C的上顶点
∴b=

3

，∴b²=3，
又F（1，0），∴c=1，a²=b²+c²=4．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线x=my+1代入椭圆方程，整理可得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
故△=144（m²+1）＞0．
∴y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

∴

1

y1

+

1

y2

=

2m

3

∵

MA

=λ₁

AF

，∴（x₁，y₁+

1

m

）=λ₁（1-x₁，-y₁）．
∴λ₁=-1-

1

my1

．
同理λ₂=-1-

1

my2

∴λ₁+λ₂=-2-

1

m

（

1

y1

+

1

y2

）=-

8

3

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交，考查向量知识的运用，联立方程组，利用韦达定理解题是解题的关键．