Question

18．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO=2$\sqrt{2}$．
（1）求证PO⊥AC；
（2）求二面角P-AC-E的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）说明PO⊥底面圆O，利用直线与平面垂直的性质定理推出结果即可．
（2）取AC中点为D，连接PD、OD，说明二面角P-AC-E的平面角即为∠PDO，在Rt△POD中，求解即可．

解答 证明：（1）∵PO是圆锥的高，∴PO⊥底面圆O，
又AC?底面圆O，
∴PO⊥AC．
（2）取AC中点为D，连接PD、OD，又圆锥母线PA=PC，∴PD⊥AC
∵底面圆O上OA=OC∴OD⊥AC
又E为劣弧CB的中点即有E∈底面圆O
∴二面角P-AC-E的平面角即为∠PDO
∵C为半圆弧AB的中点，∴∠AOC=90°
又直径AB=2$\sqrt{2}$∴OD=$\frac{1}{2}$AC=1
∵PO⊥底面圆O  且OD?底面圆O，∴PO⊥OD
又PO=$\sqrt{2}$，∴Rt△POD中，PD=$\sqrt{3}$．
∴cos∠PDO=$\frac{OD}{PD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$即为所求．

点评 本题考查直线与平面垂直的性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查转化三险一金空间想象能力的应用．