题目内容
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求平面AMC与平面ABC夹角的余弦值．
分析：（I）以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，证明DC⊥面PAD，可得面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求出平面AMC、ABC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面AMC与平面ABC夹角的余弦值．
（Ⅱ）求出平面AMC、ABC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面AMC与平面ABC夹角的余弦值．
解答：
解：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，
）．
（Ⅰ）证明：因为
=（0，0，1），
=（0，1，0），
所以
•
=0，所以AP⊥DC．
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，
由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．
（II）解：平面PAC的法向量为
=（x，y，z），
∵
=（1，1，0），
=（0，1，
）
∴由
，可得
∴可取
=（1，-1，2）
∵平面ABC的法向量
=（0，0，1）
∴cos＜
，
＞=
=
∴平面AMC与平面ABC夹角的余弦值为
．
解：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）证明：因为
| AP |
| DC |
所以
| AP |
| DC |
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，
由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．
（II）解：平面PAC的法向量为
| n |
∵
| AC |
| MA |
| 1 |
| 2 |
∴由
|
|
∴可取
| n |
∵平面ABC的法向量
| AP |
∴cos＜
| n |
| AP |
| ||||
|
|
| ||
| 3 |
∴平面AMC与平面ABC夹角的余弦值为
| ||
| 3 |
点评：本题考查面面垂直，面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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