Question

已知双曲线C₁的渐近线方程是y=±x，且它的一条准线与渐近线y=x及x轴围成的三角形的周长是．以C₁的两个顶点为焦点，以C₁的焦点为顶点的椭圆记为C₂．
（1）求C₂的方程；
（2）已知斜率为的直线l经过定点P（m，0）（m＞0）并与椭圆C₂交于不同的两点A、B，若对于椭圆C₂上任意一点M，都存在θ∈[0，2π]，使得成立．求实数m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知双曲线C₁的焦点在x轴上，先假设方程，结合渐近线y=x及x轴围成的三角形的周长是，则可求双曲线的标准方程．
（2）联立方程组，由于交于不同的两点，所以△＞0．
由，可得代入椭圆方程，可求实数m的值．
解答：解：（1）由题意知双曲线C₁的焦点在x轴上，设C₁的方程为：

解得之：，
∴双曲线的半焦距c=2，椭圆C₂方程为：…（4分）
（2）设点M（x，y）及点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为：x-2y-m=0，
联立方程组…（6分）
判断式△=16m²-32（m²-4）=16（8-m²）＞0


=4y₁y₂+2m（y₁+y₂）+m²
=…（7分）
由，可得…（8分）
代入椭圆方程得4=x²+4y²=（x₁cosθ+x₂sinθ）²+4（y₁cosθ+y₂sinθ）²
=（x₁²+4y₁²）cos²θ+（x₂²+4y₂²）sin²θ+2sinθcosθ（x₁x₂+4y₁y₂）
=4（cos²θ+sin²θ）+sin2θ•（x₁x₂+4y₁y₂）
即得：sin2θ•（x₁x₂+4y₁y₂）=0…（10分）
又∵θ∈[0，2π]的任意性，知：

∵
∴m=2，即满足条件的实数m的值为2   …（12分）
点评：本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，注意设而不求思想的运用．