Question

如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

Answer 1

（1）详见解析，（2）详见解析，（3）

试题分析：（1）证明线面平行，往往从线线平行出发. 因为是的中点，所以取PD的中点，则ME为三角形PCD的中位线，根据中位线的性质，有，又，所以四边形为平行四边形，因此∥，（2）存在性问题，往往从假定出发，现设N点位置，这提示要利用空间向量设点的坐标，空间向量解决线面垂直问题的关键在于表示出平面的法向量，也可利用线面垂直的性质，即垂直平面中两条相交直线，由及解得，是的中点（3）求线面角，关键在于作出平面的垂线，此时可利用（2）的结论，即MN为平面的垂线；另外也可继续利用空间向量求线面角，即直线与平面所成角的正弦值为余弦值的绝对值.
试题解析：解（1）是的中点，取PD的中点，则
，又
四边形为平行四边形
∥，平面,平面
∥平面                  ..（4分）
（2）以为原点，以、、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，
在平面内设，，， 由       
由       
是的中点，此时平面        （8分）
（3）设直线与平面所成的角为
，，设为
   
故直线与平面所成角的正弦为        （12分）