Question

若不等式

x(x2+8)(8-x)

＜λ(x+1)对于一切实数x∈（0，2）都成立，则实数λ的取值范围是

[4，+∞）

．

Answer 1

分析：先设f（x）=x（x²+8）（8-x），y₁=f（x） 

1

2

，y₂=λ（x+1）．利用导数工具得出x∈（0，2）时，f（x）单调增，
原不等式对于一切实数x∈（0，2）都成立转化为：y₁＜f（x） 

1

2

=12．即对x∈（0，2），y₁＜y₂都成立，从而得出实数λ的取值范围．

解答：解：设f（x）=x（x²+8）（8-x），y₁=f（x） 

1

2

，y₂=λ（x+1）．
x∈（0，2）时，f'（x）=24x²-4x³+64-16x＞0．
说明x∈（0，2）时，f（x）单调增，
原不等式对于一切实数x∈（0，2）都成立转化为：y₁＜f（x） 

1

2

=12．
即当x=2时，由 λ（2+1）≥12
得 λ≥4．
∴对x∈（0，2），y₁＜y₂都成立，有 λ≥4．
故答案为：[4，+∞）．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、导数在单调性问题中的应用、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于难题．