Question

设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A-C)+cosB=

3

2

，b²=ac，求B．

Answer 1

分析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=

3

2

（负值舍掉），从而求出答案．

解答：解：由cos（A-C）+cosB=

3

2

及B=π-（A+C）得
cos（A-C）-cos（A+C）=

3

2

，
∴cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC）=

3

2

，
∴sinAsinC=

3

4

．
又由b²=ac及正弦定理得sin²B=sinAsinC，
故sin2B=

3

4

，
∴sinB=

3

2

或sinB=-

3

2

（舍去），
于是B=

π

3

或B=

2π

3

．
又由b²=ac
知b≤a或b≤c
所以B=

π

3

．

点评：三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．