题目内容
若直线2ax-by+6=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则
+
的最小值是（ ）
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
分析：先根据直线始终平分圆的周长，可推断出直线过圆的圆心，利用圆的方程求得圆心坐标代入直线方程求得a和b的关系，然后把
+
整理成
（a+b）（
+
）的形式，展开后利用基本不等式求得答案．
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y-2）2=4，
∴圆心坐标为（-1，2），半径r=2，
由题意可得：直线2ax-by+6=0过圆心，
∴-2a-2b+6=0，即
（a+b）=1，即a+b=3
∵a＞0，b＞0，
∴
+
=
（
+
）•（a+b）
=
（1+
+
+4）≥
（5+2
）=
（5+4）=3，
当且仅当
=
，即b=2a时取等号，
则
+
的最小值是3．
故选D
∴圆心坐标为（-1，2），半径r=2，
由题意可得：直线2ax-by+6=0过圆心，
∴-2a-2b+6=0，即
| 1 |
| 3 |
∵a＞0，b＞0，
∴
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
=
| 1 |
| 3 |
| b |
| a |
| 4a |
| b |
| 1 |
| 3 |
|
| 1 |
| 3 |
当且仅当
| b |
| a |
| 4a |
| b |
则
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
故选D
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，以及基本不等式的运用，其中根据题意得出直线过圆心，进而得到a与b的关系式是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则
+
的最小值是（ ）
| 1 |
| a |
| 2 |
| b |
A、4
| ||
B、3+2
| ||
C、3+2
| ||
D、4
|