题目内容
四棱锥P—ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，侧棱
，
，M、N两点分别在侧棱PB、PD上，
.
(1)求证：PA⊥平面MNC。
(2)求平面NPC与平面MNC的夹角的余弦值．
（1）证明过程详见解析；（2）
.
解析试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线面垂直、二面角等数学知识，考查学生用向量法解决立体几何的能力，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.第一问，连结AC、BD交于O，则在三角形APC中可知
，在三角形PBO中，利用三边长，可知
，利用线面垂直的判定得
平面ABCD，所以建立空间直角坐标系，得到各个点的坐标，得到
和平面MNC的法向量
的坐标，可求出//
，所以
平面MNC；第二问，利用平面NPC的法向量垂直于
和
得到法向量的坐标，利用夹角公式得到夹角的余弦值.
试题解析：设菱形对角线交于点
，易知且
又
.由勾股定理知，
又
平面
3分
建立如图空间直角坐标系，
，
，
，
， 
5分
⑴显然，
，平面
的法向量
，由∥，知
平面
8分
⑵设面
的法向量为
由
取
，得
10分
所以平面与平面的夹角的余弦值为
. 12分
考点：1.向量法；2.夹角公式；3.线面垂直的判定.
练习册系列答案
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底面
直角梯形，
∥
，
，
是棱
，
，
，
，
.
与
所成的角；
平面
.
中，
，
是棱
的中点．如图所示．
平面
；
的大小．
，底面
是等腰梯形，
∥
，
是
平面
， 
是
中点．
平面
；
与平面
所成锐二面角的余弦值.
，AF＝1，M是线段EF的中点．
的底面ABCD是平行四边形，
，
，
面
，设
为
中点，点
在线段
上且
．
平面
；
的大小为
，若
，求
的长．
，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．