Question

【题目】已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）若直线与曲线相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可了；

（2）联立直线和椭圆方程，利用设而不求的思想表示，进而利用均值不等式求最值即可.

详解：（1）∵点在线段的垂直平分线上，∴．

又，∴．

∴曲线是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆．

设曲线的方程为．

∵，∴．

∴曲线的方程为．

（2）设．

联立消去，得．

此时有．

由一元二次方程根与系数的关系，得

，．

∴ ．

∵原点到直线的距离，

∴ ．

由，得．又，∴据基本不等式，得

．当且仅当时，不等式取等号．

∴面积的最大值为．