Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E、G分别是AB、BB₁、AC₁的中点，AB=BB₁=2．
（Ⅰ）在棱B₁C₁上是否存在点F使GF∥DE？如果存在，试确定它的位置；如果不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求截面DEG与底面ABC所成锐二面角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（I）存在且为B₁C₁的中点，连接AB₁，利用三角形的中位线的性质，可得结论；
（II）延长FE与CB的延长线交于M，连接DM，则DM为截面与底面所成二面角的棱，取BC的中点N，作EH⊥DM于H，则∠BDM=∠BMD=30°，连BH，可得∠EHB为截面与底面所成的锐二面角，从而可得结论．
解答：解：（Ⅰ）存在且为B₁C₁的中点，连接AB₁，
∵D、E、G分别是AB₁、BB₁、AC₁的中点，∴DE∥AB₁∥GF；
（Ⅱ）延长FE与CB的延长线交于M，连接DM，则DM为截面与底面所成二面角的棱，取BC的中点N，连FN，则FN∥BB₁．
∵EB∥FN，EB=FN，∴B为MN的中点．
由题设得BM=BN=BE=BD=1，且∠DEM=120°，
作EH⊥DM于H，则∠BDM=∠BMD=30°，连BH，
又BE⊥底面ABC，
由三垂线定理可知DM⊥EH，
∴∠EHB为截面与底面所成的锐二面角．
在Rt△EHB中，BE=1，EH=BD=，
∴tan∠EHB=．
点评：本题考查三角形中位线的性质，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出二面角的平面角是关键．