题目内容
为了保护环境，某化工厂在政府部门的支持下，进行技术改造：每天把工业废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体，经测算，该工厂每天处理废气的成本y（元）与处理废气量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：y=
，且每处理1吨工业废气可得价值为50元的某种化工产品．
（1）当工厂日处理废气量x∈[40，70]时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，为了保证工厂在生产中没有亏损现象出现，国家至少每天财政补贴多少元？
（2）若国家给予企业处理废气阶梯式财政补贴，当日废气处理量不足40吨时，给予每顿80元补贴，废气处理量不少于40吨时，超过40吨的部分再增加每顿55元的补贴，当工厂的日处理量为多少吨时，工厂处理每顿废气的平均收益最大？
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（1）当工厂日处理废气量x∈[40，70]时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，为了保证工厂在生产中没有亏损现象出现，国家至少每天财政补贴多少元？
（2）若国家给予企业处理废气阶梯式财政补贴，当日废气处理量不足40吨时，给予每顿80元补贴，废气处理量不少于40吨时，超过40吨的部分再增加每顿55元的补贴，当工厂的日处理量为多少吨时，工厂处理每顿废气的平均收益最大？
分析：（1）利用每处理1吨工业废气可得价值为50元的某种化工产品，及函数关系式，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；
（2）求出工厂处理每顿废气的平均收益的函数表达式，再分段求出函数的最值，即可求得结论．
（2）求出工厂处理每顿废气的平均收益的函数表达式，再分段求出函数的最值，即可求得结论．
解答：解：（1）当x∈[40，70]时，设该工厂获利为S，则S=50x-（2x2-130x+5000）=-2（x-45）2-950
∴x∈[40，70]时，Smax=-950＜0，因此，该工厂不会获利
当x=70时，Smin=-2200，
∴国家至少每天财政补贴2200元，保证工厂在生产中没有亏损现象出现；
（2）由题意，工厂处理每顿废气的平均收益为P（x）=
①当x∈[10，40]时，P（x）=130-
x2-
，∴P′（x）=-
∵x∈[10，40]，∴10≤x＜20时，P′（x）＞0，函数为增函数，20＜x＜40时，P′（x）＜0，函数为减函数
∴x=20时，P（x）取得最大值，最大值为P（20）=55；
②当x∈[40，70]时，P（x）=315-2x-
，∵2x+
≥240，当且仅当x=60时，2x+
取得最小值为240
∴x=60时，P（x）取得最大值，最大值为P（60）=75
综上，x=60时，当工厂的日处理量为60吨时，工厂处理每顿废气的平均收益最大．
∴x∈[40，70]时，Smax=-950＜0，因此，该工厂不会获利
当x=70时，Smin=-2200，
∴国家至少每天财政补贴2200元，保证工厂在生产中没有亏损现象出现；
（2）由题意，工厂处理每顿废气的平均收益为P（x）=
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①当x∈[10，40]时，P（x）=130-
| 1 |
| 16 |
| 1000 |
| x |
| (x3-8000) |
| 8x2 |
∵x∈[10，40]，∴10≤x＜20时，P′（x）＞0，函数为增函数，20＜x＜40时，P′（x）＜0，函数为减函数
∴x=20时，P（x）取得最大值，最大值为P（20）=55；
②当x∈[40，70]时，P（x）=315-2x-
| 7200 |
| x |
| 7200 |
| x |
| 7200 |
| x |
∴x=60时，P（x）取得最大值，最大值为P（60）=75
综上，x=60时，当工厂的日处理量为60吨时，工厂处理每顿废气的平均收益最大．
点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．
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