Question

已知函数f（x）满足f（x）=x³+f′（

2

3

）x²-x+c（其中c为常数）
（I）若方程f（x）=0有且只有两个不等的实根，求常数c；
（II）在（I）的条件下，若f（-

1

3

）＞0，求函数f（x）的图象与x轴围成的封闭图形的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）方程f（x）=0有且只有两个不等的实根?函数f（x）有一个极值为0，另一个极值大于0 或小于0，即可求出；
（Ⅱ）先求出由在（I）的条件下满足f（-

1

3

）＞0的c的值，进而利用定积分即可求出其面积．

解答：解：（Ⅰ）∵f^′（x）=3x2+2f′(

2

3

)x-1，∴f′(

2

3

)=3×(

2

3

)2+2×

2

3

×f′(

2

3

)-1，∴f′(

2

3

)=-1．
∴f（x）=x³-x²-x+c，f^′（x）=3x²-2x-1．
令f^′（x）=0，解得x=-

1

3

或1．列表如下：
由表格可知：当x=-

1

3

时，函数f（x）取得极大值，
f(-

1

3

)=

5

27

+c；当x=1时，函数f（x）取得极小值，f（1）=c-1．
要使方程f（x）=0有且只有两个不等的实根，
则必有f(-

1

3

)=0或f（1）=0，解得c=-

5

27

或1．
（2）当c=1时，f(-

1

3

)=

5

27

+1＞0满足f(-

1

3

)＞0．如图所示：
函数f（x）的图象与X轴围成的封闭图形的面积=

∫

1 -1

(x3-x2-x+1)dx
=(

x4

4

-

x3

3

-

x2

2

+x)

|

1 -1

=

4

3

．

点评：把问题正确等价转化和熟练掌握利用微积分基本定理求面积是解题的关键．