Question

（2013•浙江模拟）函数f（x）=sin2x+2

3

cos²x-

3

，函数g（x）=mcos（2x-

π

6

）-2m+3（m＞0），若存在x₁，x₂∈[0，

π

4

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数m的取值范围是

[

2

3

，2]

．

Answer 1

分析：由x∈[0，

π

4

]，可求得f（x）∈[1，2]，g（x）∈[-

3m

2

+3，3-m]，依题意，存在x₁，x₂∈[0，

π

4

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，可得到关于m的不等式组，解之可求得实数m的取值范围．

解答：解：∵f（x）=sin2x+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
当x∈[0，

π

4

]，2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[1，2]，
∴f（x）∈[1，2]，
对于g（x）=mcos（2x-

π

6

）-2m+3（m＞0），2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，mcos（2x-

π

6

）∈[

m

2

，m]，
∴g（x）∈[-

3m

2

+3，3-m]，
若存在x₁，x₂∈[0，

π

4

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
则3-m≥1，-

3m

2

+3≤2，解得实数m的取值范围是[

2

3

，2]．
故答案为：[

2

3

，2]．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解“存在x₁，x₂∈[0，

π

4

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立”的含义，属于难题．