Question

函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）=f（x），f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数为 ______．

Answer 1

解：由f（x+3）=f（x），得出3是该函数的周期，
由于f（2）=0，若x∈（0，6），
则可得出f（5）=f（2）=0，
又根据f（x）为奇函数，则f（-2）=-f（2）=0，
又可得出f（4）=f（1）=f（-2）=0，
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得出f（0）=0，
从而f（3）=f（0）=0，在f（x+3）=f（x）中，
令，得出，
又根据f（x）是定义在R上的奇函数，得出，
从而得到，即，
故，
从而=f（4）=f（1）=f（3）=f（5）=f（2）=0，若x∈（0，6）．
故答案为：7．
分析：根据f（x+3）=f（x），确定出函数的周期，再结合函数的奇偶性确定出函数在给定区间上的零点个数，注意找全零点，不能漏掉．
点评：本题考查抽象函数的求值问题，考查函数周期性的定义，函数奇偶性的运用，把握住函数零点的定义是解决本题的关键．