Question

设函数。
（Ⅰ）若在定义域内存在，使不等式能成立，求实数的最小值；
（Ⅱ）若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围。

Answer 1

（1）1；（2）

试题分析：（1）不等式转化为：能成立，求m最小值。可以转化成求函数在定义域内的最小值。（2）函数在上有两个不同零点，所以在上有两个不同的解，可以令，结合图形研究函数的性质即可。
解答过程：(Ⅰ)要使得不等式能成立，只需。  ………………1分
求导得：，…………………………………2分
∵函数的定义域为， ……………………………………3分
当时，，∴函数在区间上是减函数；
当时，，∴函数在区间(0，+∞)上是增函数。 …………5分
∴，  ∴。故实数的最小值为1。……………………6分(Ⅱ)由得：
…………………7分
由题设可得：方程在区间上恰有两个相异实根。
设。∵，列表如下：

		－	0	＋
		减函数		增函数

∵，∴。
从而有，                
画出函数在区间上的草图（见图），

易知要使方程在区间上恰有两个相异实根，
只需：，即：。 ……………12分
点评：本题需要灵活转化，还要有一定逻辑分析能力和一定的计算能力，在难度上属于中等偏上，第一问计算简单，第二步计算在能力要求上有所增加。