题目内容

已知函数f（x）=5sinxcosx-5 $数学公式$ cos²x+ $数学公式$ $数学公式$ （其中x∈R），求：
（1）函数f（x）的最小正周期；
（2）函数f（x）的单调区间；
（3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．

解：（1）函数f（x）=5sinxcosx-5 $\text{[math]}$ cos²x+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
=5（ $\text{[math]}$ sin2x- $\text{[math]}$ ）=5sin（2x- $\text{[math]}$ ），故此函数的周期为 T= $\text{[math]}$ =π．
（2）由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，
故增区间为：[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，由2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，
故减区间：[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，其中k∈z．
（3）由2x- $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z 可得 x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，故对称轴方程：x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
由 2x- $\text{[math]}$ =kπ，k∈z 可得 x= $\text{[math]}$ ，故对称中心：（ $\text{[math]}$ ，0），其中，k∈z．
分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x ）的解析式为 5sin（2x- $\text{[math]}$ ），故此函数的周期为 T= $\text{[math]}$ =π．
（2）由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得x的范围即为增区间，由2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得x的范围即为减区间．
（3）由2x- $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z 求得对称轴方程：x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，由 2x- $\text{[math]}$ =kπ，k∈z 求得对称中心（ $\text{[math]}$ ，0）．
点评：本题考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性、周期性、对称性，把函数f（x）的解析式化为 5sin（2x- $\text{[math]}$ ）是解题的突破口．