题目内容
17．设函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）x的图象与直线y=5-x交点的横为x1、x2，函数g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x的图象与直线y=5-x交点的横为x3、x4，则x1+x2+x3+x4的值为10．分析 x1、x2是（$\frac{1}{3}$）x=5-x的两个根，得到x1=5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$，x2=5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$，再根据f（x）与g（x）互为反函数得到x3=y2=$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$，x4=y1=$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$，问题得以解决．
解答 解：函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）x的图象与直线y=5-x交点的横为x1、x2，
∴x1、x2是（$\frac{1}{3}$）x=5-x的两个根，
∴x1=5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$，x2=5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$，
∵f（x）=（$\frac{1}{3}$）x的图象与g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x关于y=x对称，
∴x3=y2=$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$，x4=y1=$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$，
∴x1+x2+x3+x4═5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$+5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$+$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$+$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$=10．
故答案为：10．
点评 本题考查了指数函数和对数函数的性质，以及方程的根的问题，关键是f（x）与g（x）互为反函数，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | C${\;}_{2015}^{4}$ | B． | C${\;}_{2016}^{4}$ | C． | 2C${\;}_{2016}^{3}$ | D． | 2C${\;}_{2015}^{3}$ |