Question

已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且．

（1）求a₁，a₃；

（2）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出其通项公式；

（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b₁，b_p，b_q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) a₁=S₁=="0," a₃=2

(2) a_n=n－1

(3) 存在唯一正整数数 对(p，q)=(2，3)，使b₁，b_p，b_q成等比数列

【解析】

试题分析：解：(1)令n=1，则a₁=S₁==0．      2分；         a₃=2；   3分

（2）由，即，  ①     得 ．  ②

②－①，得 ．                    ③         5分

于是，．                           ④

③+④，得，即．             7分

又a₁=0，a₂=1，a₂－a₁=1，        

所以，数列{a_n}是以0为首项，1为公差的等差数列．

所以，a_n=n－1．                                            9分

法二②－①，得 ．                   ③     5分

于是，                 7分

       所以，a_n=n－1．                           9分

(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b₁，b_p，b_q成等比数列，

则lgb₁，lgb_p，lgb_q成等差数列，                               10分

于是，．                                         11分

所以，(☆)．易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解．     12分

当p≥3，且p∈N*时，<0，

故数列{}(p≥3)为递减数列                                      14分

于是≤<0，所以此时方程(☆)无正整数解．              15分

综上，存在唯一正整数数 对(p，q)=(2，3)，使b₁，b_p，b_q成等比数列．    16分

考点：等差数列和等比数列

点评：解决的关键是根据等差数列和等比数列的性质以及定义来求解运用。属于基础题。