Question

1．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=2，其中$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为-1，且（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）=0
（1）试求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ及|$\overrightarrow{b}$|；
（2）若向量$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，试求|$\overrightarrow{c}$|的值．

Answer 1

分析 （1）利用一个向量在另一个向量上的投影的定义求得cosθ的值，可得θ的值．
（2）由条件利用|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）}^{2}}$，计算求得结果．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
则由题意可得|$\overrightarrow{a}$|•cosθ=2•cosθ=-1，cosθ=-$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{2π}{3}$．
∵（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4${\overrightarrow{b}}^{2}$=4-4${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
∴|$\overrightarrow{b}$|=1．
（2）若向量$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，
则|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{4\overrightarrow{b}}^{2}}$
=$\sqrt{4+4•2•1•（-\frac{1}{2}）+4}$=2．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，一个向量在另一个向量上的投影，求向量的模的方法，属于基础题．