Question

(17)设数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=，n∈N^*.

(Ⅰ)求数列{a_n}的通项；

(Ⅱ)设b_n=，求数列{b_n}的前n项和S_n.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵a₁+3a₁+3²a₃+…+3^n-1a_n=，                  ①

∴当n≥2时，a₁+3a₁+3²a₃+…+3^n-1a_n-1=.        ②

①-②得3^n-1a_n=，a_n=.

在①中，令n=1，得a₁=.

∴a_n=.

(Ⅱ)∵b_n=，

∴b_n=n3ⁿ.

∴S_n=3+2×3²+3×3³+…+n3ⁿ.             ③

∴3S_n=3²+2×3³+3×3⁴+1…+n3ⁿ⁺¹.    ④

④-③得

∴2S_n=n3ⁿ⁺¹-(3+3²+3³+…+3ⁿ).

即2S_n=n3ⁿ⁺¹-.

∴S_n=.