Question

在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答这道题对的概率是

3

4

，甲、丙两人都回答错的概率是

1

12

，乙、丙两人都回答对的概率是

1

4

．
（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答这道题对的概率；
（Ⅱ）用ξ表示回答该题对的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

（Ⅰ）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、B、C，则P(A)=

3

4

，且有

P( . A )•P( . C )= 1 12 P(B)•P(C)= 1 4

，即

[1-P(A)]•[1-P(C)]= 1 12 P(B)•P(C)= 1 4

∴P(B)=

3

8

，P(C)=

2

3

．…6′
（Ⅱ）由（Ⅰ）P(

.

A

)=1-P(A)=

1

4

，P(

.

B

)=1-P(B)=

1

3

．ξ的可能取值为：0、1、2、3．
则P(ξ=0)=P(

.

A

•

.

B

•

.

C

)=

1

4

•

1

3

•

5

8

=

5

96

；P(ξ=1)=P(A•

.

B

•

.

C

)+P(

.

A

•B•

.

C

)+P(

.

A

•

.

B

•C)=

3

4

•

5

8

•

1

3

+

1

4

•

3

8

•

2

3

+

3

4

•

5

8

•

2

3

=

7

24

；P(ξ=2)=P(A•B•

.

C

)+P(A•

.

B

•C)+P(

.

A

•B•C)=

15

32

；P(ξ=3)=P(A•B•C)=

3

16

．…9′
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	5 96	7 24	15 32	3 16

ξ的数学期望Eξ=0•

5

96

+1•

7

24

+2•

15

32

+3•

3

16

=

43

24

．…12′