Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，地面ABCD为正方形，PA⊥地面ABCD，AB=AP=1，E为PB的中点．
（1）证明：AE⊥平面PBC；
（2）求三棱锥D-BPC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得AE⊥PB，平面ABP⊥平面ABCD，BC⊥平面ABP，AE⊥BC，由此能证明AE⊥平面PBC．
（2）由已知得V_D-EPC=V_A-EPC，从而V_A-EPC=

1

3

S△PBC•AE，由此能求出三棱锥D-BPC的体积．

解答： （1）证明：∵AB=AP，E为PB的中点，
∴AE⊥PB，
∵AP⊥平面ABCD，∴平面ABP⊥平面ABCD，
又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABP，
∵AE?平面ABP，∴AE⊥BC，
∵PB，BC?平面ABP，
∴AE⊥平面PBC．
（2）解：∵AD∥BC，AD?面SBC，BC?平面SBC，
∴AD∥平面SBC，
∴V_D-EPC=V_A-EPC，
又∵AE⊥平面PBC，
∴V_A-EPC=

1

3

S△PBC•AE=

1

3

×

1

2

×1×

2

×

1

2

=

1

6

，
∴三棱锥D-BPC的体积是

1

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．