Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对于任意的正整数n都有S_n=n²，且各项均为正数的等比数列{b_n}中，b₆=b₃b₄，且b₃和b₅的等差中项是10．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n；等比数列{b_n}中，由b₆=b₃b₄，利用等比数列的通项公式可得b₁．设公比q＞0，由b₃和b₅的等差中项是10．可知
b₃+b₅=20．解得q，从而得到b_n．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
经检验n=1时也成立，
∴a_n=2n-1；
等比数列{b_n}中，∵b₆=b₃b₄，∴${b}_{1}{q}^{5}$=${b}_{1}^{2}{q}^{2}•{q}^{3}$，解得b₁=1．
设公比q＞0，由b₃和b₅的等差中项是10．
可知b₃+b₅=20．
∴q²+q⁴=20，
解得q=2，
从而b_n=2^n-1．
（2）若c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，
∴T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，
2T_n=2+3×2²+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
两式相减，得-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ=1+$2×\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）•2ⁿ=-3+（3-2n）•2ⁿ，
∴T_n=3+（2n-3）•2ⁿ．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．