题目内容

数列{xn}满足x1=0，xn+1=-x2n+xn+c（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：{xn}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）求c的取值范围，使{xn}是递增数列．
【答案】分析：（Ⅰ）通过证明必要条件与充分条件，推出{xn}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0，通过①当c=0时，②当c＞0时，推出0＜c＜1，当c时，证明xn+1＞xn．=?．当c时，说明数列{xn}是从递减数列矛盾．得到0＜c时，数列{xn}是递增数列．
解答：当c＜0时，xn+1=-x2n+xn+c＜xn，
∴{xn}是单调递减数列
充分条件
当{xn}是单调递减数列时
x1=0＞x2=-x21+x1+c
∴c＜0
综上{xn}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0
①当c=0时，xn=x1=0，此时数列为常数列，不符合题意；
②当c＞0时，x2=c＞x1=0，x3=-c2+2c＞x2=c
∴0＜c＜1
?
?0=x1≤xn＜，=-（xn+1-xn）（xn+1+xn-1），
当c时，⇒xn-xn+1+1＞0?xn+2-xn+1-1＜0，?xn+2-xn+1与xn+1-xn同号，
由x2-x1=c＞0⇒xn+1-xn＞0?xn+1＞xn．
=?．
当c时，存在N使xN⇒xN+xN+1＞1⇒xN+2-xN+1与xN+1-xN异号，
与数列{xn}是从递减数列矛盾．
所以当0＜c时，数列{xn}是递增数列．
点评：本题考查数列与函数的综合应用，函数的单调性的证明，充要条件的证明，考查逻辑推理能力，计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
ax+b
cx2+1
（a，b，c为常数，a≠0）．
（Ⅰ）若c=0时，数列an满足条件：点（n，an）在函数f(x)=
ax+b
cx2+1
的图象上，求an的前n项和Sn；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a3=7，S4=24，p，q∈N*（p≠q），证明：Sp+q＜
1
2
(S2p+S2q)；
（Ⅲ）若c=1时，f（x）是奇函数，f（1）=1，数列xn满足x1=
1
2
，xn+1=f（xn），求证：
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
+…+
(xn-xn+1)2
xnxn+1
＜
5
16
．
（2012•四川）记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1．设a为正整数，数列{xn}满足x1=a，xn+1=[
xn+[
a
xn
]
2
](n∈N*)，现有下列命题：
①当a=5时，数列{xn}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn=xk；
③当n≥1时，xn＞
a
-1；
④对某个正整数k，若xk+1≥xk，则xk=[
a
]．
其中的真命题有
①③④
①③④
．（写出所有真命题的编号）
已知函数f(x)=
3xx+3
，数列{xn}满足x1=1，xn+1=f（xn），n∈N*
（1）求数列{xn}的通项公式．
（2）记an=xnxn+1，Sn=a1+a2+…+an，n∈N*，求证：Sn＜3．
（2009•荆州模拟）数列{xn}满足x1=
1
3
，且n≥2时，xn=
xn-1
2-xn-1
，若对任意n∈N*，都有|x2-x1|+|x3-x2|+…+|xn+1-xn|＜a成立，则实数a的取值范围是
[
1
3
，+∞)
[
1
3
，+∞)
．
已知函数f（x）在（-1，1）有意义，f（
1
2
）=-1且任意的x、y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（
x+y
1+xy
），若数列{xn}满足x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x
2
n
（n∈N*），求f（xn）．

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