Question

（2009•荆州模拟）数列{x_n}满足x₁=

1

3

，且n≥2时，x_n=

xn-1

2-xn-1

，若对任意n∈N^*，都有|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|＜a成立，则实数a的取值范围是

[

1

3

，+∞)

．

Answer 1

分析：当n≥2时，xn=

xn-1

2-xn-1

，两边取倒数得

1

xn

=

2

xn-1

-1，变形为

1

xn

-1=2(

1

xn-1

-1)，利用等比数列的通项公式即可得出x_n．由对任意n∈N^*，
都有|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|＜a成立，?（|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|）_max＜a成立，通过去掉绝对值符号即可得出．

解答：解：当n≥2时，xn=

xn-1

2-xn-1

，两边取倒数得

1

xn

=

2

xn-1

-1，变形为

1

xn

-1=2(

1

xn-1

-1)，
∴数列{

1

xn

-1}是以

1

x1

-1=

1

1 3

-1=3-1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴

1

xn

-1=2ⁿ，解得xn=

1

2n+1

．可得x_n＞x_n+1．
由对任意n∈N^*，都有|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|＜a成立，?（|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|）_max＜a成立，
而|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|=（x₁-x₂）+（x₂-x₃）+…+（x_n-x_n+1）=x₁-x_n+1=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

．
∴a≥

1

3

．
故实数a的取值范围是[

1

3

，+∞)．
故答案为[

1

3

，+∞)．

点评：本题综合考查了通过“取倒数法”把数列转化为等比数列解决、含绝对值符号的恒成立问题转化为求其最值问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．