Question

函数y=x-2+

4-x2

的最小值是

 

；最大值是

 

．

Answer 1

分析：设x=2sint，利用换元法将函数转化为关于t的函数，利用三角函数的图象和性质求最值即可．

解答：解：由4-x²≥0，解得x²≤4，解得-2≤x≤2，设x=2sint，（-

π

2

≤t≤

π

2

），则0≤cost≤1．
则函数等价为y=2sint-2+

4-4sin2t

=2sint-2+

4cos2t

=2sint+2cost-2=2

2

sin（t+

π

4

）-2，
∵-

π

2

≤t≤

π

2

，∴-

π

4

≤t+

π

4

≤

3π

4

，
∴当t+

π

4

=-

π

4

时，函数y取得最小值为2

2

×(-

2

2

)-2=-4，
当t+

π

4

=

π

2

时，函数y取得最大值为2

2

-2．
故答案为：-4；2

2

-2．

点评：本题主要考查函数的最大值和最小值，利用三角换元是解决本题的关键，综合考查了三角函数的图象和性质．