Question

13．设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x-1=0对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³（a为实数）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）在a∈（2，6]或（6，+∞）的情况下，分别讨论函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）先设f（x）的图象上任意点（x，f（x）），求出它关于直线x=1的对称点的坐标，由题意给出x的范围，再代入g（x）的解析式化简，再由偶函数的关系式求出另外一部分的解析式，最后用分段函数的形式表示出来；
（2）根据函数是一个偶函数，f（x） 在区间[-1，1]上的最大值与最小值，实际上分别等于f（x） 在区间[-1，0]上最大值与最小值，f（x）与函数g（x）的图象关于直线x=1对称，f（x） 在区间[-1，0]上最大值与最小值，也就是g（x）在区间[2，3]上的最大值与最小值，利用导数求g（x）在区间[2，3]上的最大值，得到结果．

解答 解：（1）设f（x）的图象上任意点（x，f（x）），
它关于直线x=1的对称点（2-x，f（x））在g（x）的图象上，
当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，且g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³，
∴f（x）=g（2-x）=-2ax+4x³，
当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），∴f（-x）=2ax-4x³，
又∵f（x）是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，
∴f（x）=2ax-4x³，
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2ax+4{x}^{3}，-1≤x≤0}\\{2ax-4{x}^{3}，0＜x≤1}\end{array}\right.$；
（2）∵f（x）为定义在区间[-1，1]上的偶函数，
∴f（x） 在区间[-1，1]上的最大值与最小值，
实际上分别等于f（x） 在区间[-1，0]上最大值与最小值．
∵f（x）与函数g（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x） 在区间[-1，0]上最大值与最小值，
也就是g（x）在区间[2，3]上的最大值与最小值．
g′（x）=2a-12（x-2）²，
当2＜a＜6，
由g′（x）=0的二根为2±$\sqrt{\frac{a}{6}}$，其中2＜2+$\sqrt{\frac{a}{6}}$＜3，2-$\sqrt{\frac{a}{6}}$＜2，
则g（x）在（2，2+$\sqrt{\frac{a}{6}}$）递增，在（2+$\sqrt{\frac{a}{6}}$，3）递减，
即有x=2+$\sqrt{\frac{a}{6}}$取得最大值，且为$\frac{4a}{3}$$\sqrt{\frac{a}{6}}$；
当a=6时，g′（x）=0的二根为1，3．
即有g（x）在[2，3]递增，g（3）最大，且为8；
当a＞6时，g′（x）=0的二根为2±$\sqrt{\frac{a}{6}}$，其中2+$\sqrt{\frac{a}{6}}$＞3，2-$\sqrt{\frac{a}{6}}$＜2，
即有g（x）在[2，3]递增，g（3）最大，且为2a-4．
综上可得当2＜a＜6时，f（x）的最大值为$\frac{4a}{3}$$\sqrt{\frac{a}{6}}$；
当a=6时，f（x）的最大值为8；
当a＞6时，f（x）的最大值为2a-4．

点评 本题考查了函数的对称性，奇偶性的综合应用，还考查了导数与函数性质之间的关系，涉及了分类讨论思想和存在性问题等，比较综合，属于中档题．