题目内容

已知x= $数学公式$ 是 $数学公式$ 的一个极值点．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）设 $数学公式$ ，试问过点（2，5）可作多少条曲线y=g（x）的切线？为什么？

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=2+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，∵x= $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个极值点，
∴f′（ $\text{[math]}$ ）=0，即 2+4b+2=0，得b=-1，当b=-1时，f′（x）= $\text{[math]}$ ，
当0 $\text{[math]}$ 时，f′（x）＜0；当 $\text{[math]}$ 时，f′（x）＞0，所以x= $\text{[math]}$ 为f（x）的极小值点，
所以b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）= $\text{[math]}$ ，令f′（x）＞0得x＞ $\text{[math]}$ ，
∴函数f（x）的单调增区间为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ） $\text{[math]}$ =2x+lnx，
设切点坐标为（x₀，2x₀+lnx₀），则斜率为2+ $\text{[math]}$ ，切线方程为：y-2x₀-lnx₀=（2+ $\text{[math]}$ ）（x-x₀）．
∴又切线过点（2，5），∴5-2x₀-lnx₀=（2+ $\text{[math]}$ ）（2-x₀），
即 $\text{[math]}$ ，令h（x）= $\text{[math]}$ ，
则h′（x）= $\text{[math]}$ =0，得x=2．
h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增又∵ $\text{[math]}$ ，h（2）=ln2-1＜0， $\text{[math]}$
∴h（x）与x轴有两个交点，
故过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．
分析：（Ⅰ）解f′（ $\text{[math]}$ ）=0得到b值，再验证x= $\text{[math]}$ 为极值点．
（Ⅱ）在定义域内解不等式f′（x）＞0即可．
（Ⅲ）设切点坐标，表示出切线方程，转化为方程的解的个数问题，进一步利用数形结合即可求得．
点评：本题考查了应用导数研究函数的极值、单调性问题，难度稍大，注意本题中数形结合思想与转化思想的运用．