题目内容

已知双曲线，F1，F2分别为它的左、右焦点，P为双曲线上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则△PF1F2的面积为    ．
【答案】分析：由题意可知|F1F2|=10，从而可得|PF1|+|PF2|=20，结合双曲线的定义可求得|PF1|，|PF2|，再利用余弦定理可求一角的余弦，继而可得该角的正弦，由三角形的面积公式可得△PF1F2的面积．
解答：解：不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|-|PF2|=4，①
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，|F1F2|=10，
∴|PF1|+|PF2|=20，②
由①②可得|PF1|=12，|PF2|=8．
∴由余弦定理得：cosF1PF2==，
∴sinF1PF2==．
∴=|PF1||PF2|sinF1PF2
=×12×8×
=15．
故答案为：15．
点评：本题考查等差数列的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理与正弦定理的综合应用，考查分析与转化运算的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1满足条件：（1）焦点为F1（-5，0），F2（5，0）；（2）离心率为
5
3
，求得双曲线C的方程为f（x，y）=0．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f（x，y）=0，则下列四个条件中，符合添加的条件可以是（　　）
①双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1上的任意点P都满足||PF1|-|PF2||=6；
②双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的渐近线方程为4x±3y=0；
③双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦距为10；
④双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦点到渐近线的距离为4．
A、①③B、②③C、①④D、①②④
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），焦点到渐近线的距离为
2
．
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点M（0，2）的直线l交双曲线C于E、F两点，若△EOF的面积为2
2
，求直线l的方程．
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a＞0，b＞0)的两个焦点为F1（-2，0），F2（2，0），点(3，
7
)在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知Q（0，2），P为双曲线C上的动点，点M满足
QM
=
MP
，求动点M的轨迹方程；
（3）过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，记O为坐标原点，若△OEF的面积为2
2
，求直线l的方程．
已知双曲线
x2
4
-
y2
b2
=1（b∈N*） 的两个焦点为F1、F2，P是双曲线上的一点，且满足|PF1|-|PF2|=|F1F2|2，|PF2|＜4，
（I）求b的值；
（II）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），点P(3，
7
)在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）过Q（0，2）的直线l与双曲线交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2
2
，O为坐标原点，求直线l的方程．

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