Question

x，y∈R，A={(x，y)|x2+y2=1}，B={(x，y)|

x

a

-

y

b

=1，a＞0，b＞0}，当A∩B只有一个元素时，a，b的关系式是

 

．

Answer 1

分析：观察集合A发现，集合A是由x²+y²=1上点坐标构成的集合，集合B是直线

x

a

-

y

b

=1上点坐标构成的集合，又根据两集合的交集只有一个元素，得到直线与圆的位置关系是相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于圆的半径，得到关于a与b的一个关系式，化简后得到正确结果．

解答：解：由题意可知：集合A是以（0，0）为圆心，1为半径的圆上的一点坐标构成的集合，
集合B是直线

x

a

-

y

b

=1，即bx-ay=ab（a＞0，b＞0）上点坐标构成的集合，
由A∩B只有一个元素，得到直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离d=

ab

a2+b2

=1，即ab=

a2+b2

．
故答案为：ab=

a2+b2

点评：此题属于以直线与圆的位置关系为平台，考查了交集的运算，考查了点到直线的距离公式的运用，是一道基础题．解答本题的关键是认识到两集合分别是圆和直线上点坐标构成的集合．