Question

7．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n+4，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 把递推式两边同时除以${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$，然后利用累加法求数列的通项公式．

解答 解：由a_n+1=2ⁿa_n+4，得，$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{\frac{n（n+1）}{2}}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{（n-1）n}{2}}}+\frac{4}{{2}^{\frac{n（n+1）}{2}}}$，
对数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{（n-1）n}{2}}}$}运用累加公式得：
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{（n-1）n}{2}}}=\frac{{a}_{1}}{{2}^{0}}+4[\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{6}}+…+\frac{1}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}]$，其中a₁=1，
两边乘以${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$得，${a}_{n}={2}^{\frac{n（n-1）}{2}}[1+4（\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{6}}+…+\frac{1}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}）]$，
∴数列{a_n}的通项公式为${a}_{n}={2}^{\frac{n（n-1）}{2}}[1+4（\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{6}}+…+\frac{1}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}）]$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，想到两边同时除以${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$是解答该题的关键，属难题．