Question

∫

a b

(x-a)(b-x)

dx（b＞a）=

 

．

Answer 1

分析：要求定积分的值，根据定积分的意义是求曲线与x轴围成的封闭图形的面积，设出曲线的解析式，化简得到此曲线为一个半圆，则求出半圆的面积即为定积分的值．

解答：解：可设y=

(x-a)(b-x)

（y＞0），
两边平方得：y²=-x²+（a+b）x-ab，
化简得(x-

a+b

2

)2+y²=(

b-a

2

)2且b＞a，
则y所表示的曲线是圆心为（

a+b

2

，0），半径为

b-a

2

的上半圆，
故所求的定积分=半圆的面积=

π

2

•(

b-a

2

)2=

π(b-a)2

8

．
故答案为：

π(b-a)2

8

．

点评：此题考查学生对定积分意义的理解，会把求定积分的问题转化为求曲线围成的面积问题．这是一道非常好的题型．