Question

如图，点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，其中A（-6，0），F（4，0），点P在椭圆上且位于x轴上方，

PA

•

PF

=0．
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）求点P的坐标；
（Ⅲ）若过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于D，E两点，求△ADE的面积．

Answer 1

分析：（I）确定a，c的值，即可求出椭圆的离心率，及椭圆的方程；
（II）利用点P在椭圆上且位于x轴上方，

PA

•

PF

=0，即可求出P的坐标；
（III）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合三角形的面积公式，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意知a=6，c=4，∴e=

c

a

=

4

6

=

2

3

…（1分）
∴b²=a²-c²=36-16=20…（2分）
∴椭圆方程为

x2

36

+

y2

20

=1…（3分）
（Ⅱ）设点P的坐标是（x，y），则

AP

=(x+6，y)，

FP

=(x-4，y)…（4分）
由已知得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

…（5分）
则2x²+9x-18=0，x=

3

2

或x=-6…（7分）
由于y＞0，只能x=

3

2

，于是y=

5

2

3

…（8分）
所以点P的坐标是(

3

2

，

5

2

3

)…（9分）
（Ⅲ）∵l的倾斜角为45°，∴l的斜率k=1
∴l：y=x-4⇒x=y+4，
若设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）…（10分）
联立：

5x2+9y2-5×36=0 x=y+4

⇒7y2+20y-50=0，…（11分）
则|y1-y2|=

(20)2+4×7×50

7

=

30 2

7

…（12分）
显然S△ADE=S△AFD+S△AFE=

1

2

|AF|×|y1-y2|=

1

2

×10×

30 2

7

=

150 2

7

∴△ADE的面积为

150 2

7

．…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．