Question

14．已知在△ABC中，求证：$\frac{cos2A}{{a}^{2}}$-$\frac{cos2B}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理列出关系式，已知等式左边两分子利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后将得出的关系式代入计算得到结果与右边相等，得证．

解答 证明：∵由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，即$\frac{si{n}^{2}B}{{b}^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}A}{{a}^{2}}$，
∴已知等式左边=$\frac{1-2si{n}^{2}A}{{a}^{2}}$-$\frac{1-2si{n}^{2}B}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{2si{n}^{2}B}{{b}^{2}}$-$\frac{2si{n}^{2}A}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$+2（$\frac{si{n}^{2}B}{{b}^{2}}$-$\frac{si{n}^{2}A}{{a}^{2}}$）=$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$=右边，
则$\frac{cos2A}{{a}^{2}}$-$\frac{cos2B}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．