Question

设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分．

(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；

(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；

(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．

Answer 1

(1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)²＋4.

∵f(x)的图象过点A(2,2)，

∴f(2)＝a(2－3)²＋4＝2，∴a＝－2，

∴f(x)＝－2(x－3)²＋4.

设x∈(－∞，－2)，则－x>2，

∴f(－x)＝－2(－x－3)²＋4.

又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，

∴f(x)＝－2(－x－3)²＋4，

即f(x)＝－2(x＋3)²＋4，x∈(－∞，－2)．

(2)图象如图所示．

(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．

单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]．

单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．