Question

在平面直角坐标系中，已知A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0）（n∈N^*），满足向量与向量共线，且点B_n（n，b_n）（n∈N^*）都在斜率为6的同一条直线上，若a₁=6，b₁=12．求：
（1）数列{a_n}的通项a_n；
（2）数列{}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据点B_n（n，b_n）（n∈N*）都在斜率为6的同一条直线上，得出=6，即b_n+1-b_n=6，从而得出数列{b_n}是等差数列，结合向量共线条件得出a_n+1-a_n=bn最后利用分组求和的方法即可求得数列{a_n}的通项a_n；
（2）由于，利用逐差求和法即可求得数列{}的前n项和T_n．
解答：解：（1）∵点B_n（n，b_n）（n∈N*）都在斜率为6的同一条直线上，
∴=6，
即b_n+1-b_n=6，
于是数列{b_n}是等差数列，
故b_n=12+6（n-1）=6n+6．
∵共线．
∴1×（-b_n）-（-1）（a_n+1-a_n）=0，
即a_n+1-a_n=bn
∴当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+b₃+…+b_n-1
=a₁+b₁（n-1）+3（n-1）（n-2）=3n（n+1）
当n=1时，上式也成立．
所以a_n═3n（n+1）．
（2），

=．
点评：本题考查了等比数列的定义，通项公式及前n项和公式、数列与向量的综合，综合运用了逐差求和法和分组求和法，难度一般．