题目内容

关于函数函数f（x）=2cosx(cosx+
3
sinx)-1，以下结论正确的是（　　）
A、f（x）的最小正周期是π，在区间(-
π
12
，
5π
12
)是增函数
B、f（x）的最小正周期是2π，最大值是2
C、f（x）的最小正周期是π，最大值是
3
D、f（x）的最小正周期是π，在区间(-
π
12
，
π
6
)是增函数
分析：有关求复和角三角函数性质问题，可以先将函数化简成f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，然后利用公式T=
2π
ω
即可求出最小正周期，利用正弦函数y=sinx的增区间来求出f（x）=Asin（ωx+φ）的增区间即可确定选项．
解答：解：f(x)=2sin(2x+
π
6
)，最小正周期是π，在(-
π
12
，
π
6
)是增函数．f（x）=2cosx(cosx+
3
sinx)-1=2cos2x+2
3
cosxsinx-1=cos2x+1+
3
sin2x-1=2（
1
2
cos2x+
3
2
sin2x）
=2（sin
π
6
cos2x+cos
π
6
sin2x）=2sin（2x+
π
6
），
所以函数最小正周期为T=
2π
2
=π，最大值为2；
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈Z，得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k∈Z，
令k=0可知函数的一个增区间为[-
π
3
，
π
6
]，
由于D选项的增区间是所求区间的一个子区间，且周期为π．
故选择D
点评：本题主要考查复合角函数的周期，最值，单调区间的求法，并附带考查了降幂公式与两角和正弦公式，属于中等体型，难度系数0.6
练习册系列答案
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设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x3-4x+3．有下列命题：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
其中真命题的个数为（　　）
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
关于函数函数f（x）=，以下结论正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期是π，在区间是增函数
B．f（x）的最小正周期是2π，最大值是2
C．f（x）的最小正周期是π，最大值是
D．f（x）的最小正周期是π，在区间是增函数
关于函数函数f（x）=，以下结论正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期是π，在区间是增函数
B．f（x）的最小正周期是2π，最大值是2
C．f（x）的最小正周期是π，最大值是
D．f（x）的最小正周期是π，在区间是增函数

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