Question

如图，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

 

Answer 1

答案：
解析：

解：解法一：如图1，以O点为原点建立空间直角坐标系. 由题意，有B（3，0，0），D（，2，4），设P（3，0，z），则 ={－，2，4}，={3，0，z}. ∵BD⊥OP，∴·=－+4z=0，z=. ∵BB′⊥平面AOB，∴∠POB是OP与底面AOB所成的角. tanPOB=，∴∠POB=arctan. 解法二：取O′B′中点E，连结DE、BE，如图2，则   DE⊥平面OBB′O′， ∴BE是BD在平面OBB′O′内的射影. 又∵OP⊥BD. 由三垂线定理的逆定理，得OP⊥BE. 在矩形OBB′O′中，易得Rt△OBP∽Rt△BB′E， ∴，得BP=. （以下同解法一）