Question

锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b²+c²-a²=bc
（1）求角A的大小；
（2）求y=2sin2B+sin(2B+

π

6

)的最大值，并求取得最大值时角B的大小．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入可求出cosA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）利用二倍角的余弦函数公式化简函数解析式中的第一项，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简第二项，合并后再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把函数解析式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出y的最大值．

解答：解：（1）因为b²+c²-a²=bc，所以cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
又因为A∈(0，

π

2

)，所以A=

π

3

；
（2）化简得：y=2sin2B+sin(2B+

π

6

)
=1-cos2B+sin2Bcos

π

6

+cos2Bsin

π

6

=1+

3

2

sin2B-

1

2

cos2B
=1+sin（2B-

π

6

），
∵0＜B＜

π

2

，∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
∴当2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

时，sin（2B-

π

6

）的最大值为1，
则y有最大值是2．

点评：此题考查了余弦定理，三角函数的恒等变形以及三角函数的最值，第二问的思路为：利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数，由三角函数的最值来求函数的最值．学生做题时注意角度的范围．