题目内容
在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足
a-2bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=
，c=2，求
•
的值．
| 3 |
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=
| 7 |
| AB |
| AC |
分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，整理后根据sinA不为0，求出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）由B的度数求出cosB的值，再由b与c的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，再利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入求出cosA的值，然后利用平面向量的数量积运算法则化简所求的式子后，将各自的值代入即可求出值．
（Ⅱ）由B的度数求出cosB的值，再由b与c的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，再利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入求出cosA的值，然后利用平面向量的数量积运算法则化简所求的式子后，将各自的值代入即可求出值．
解答：解：（Ⅰ）由
a-2bsinA=0，
根据正弦定理得：
sinA-2sinBsinA=0，…（3分）
∵sinA≠0，∴sinB=
，…（5分）
又B为锐角，
则B=
；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B=
，
∵b=
，c=2，
根据余弦定理得：7=a2+4-4acos
，…（8分）
整理得：a2-2a-3=0，由于a＞0，解得：a=3，…（10分）
∴cosA=
=
=
，…（11分）
则
•
=|
|•|
|cosA=cbcosA=2×
×
=1．…（13分）
| 3 |
根据正弦定理得：
| 3 |
∵sinA≠0，∴sinB=
| ||
| 2 |
又B为锐角，
则B=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B=
| π |
| 3 |
∵b=
| 7 |
根据余弦定理得：7=a2+4-4acos
| π |
| 3 |
整理得：a2-2a-3=0，由于a＞0，解得：a=3，…（10分）
∴cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| 7+4-9 | ||
4
|
| ||
| 14 |
则
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| 7 |
| ||
| 14 |
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算法则，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．
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