Question

在锐角三角形ABC中，BC=1，AB=

2

，sin(π-B)=

14

4

．
（1）求AC的值；
（2）求sin（A-B）的值．

Answer 1

分析：（1）由三角形ABC为锐角三角形，根据诱导公式化简sin(π-B)=

14

4

，即可求出sinB的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，由AB，BC及cosB的值，利用余弦定理即可求出AC的长；
（2）由BC，AC及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的正弦函数公式化简sin（A-B）后，把各自的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵△ABC为锐角三角形，sin(π-B)=

14

4

，
∴sinB=

14

4

，
∴cosB=

1-sin2B

=

1- 14 16

=

2

4

．
∴在△ABC中，由余弦定理得：
AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosB=(

2

)2+12-2×

2

×1×

2

4

=2，
∴AC=

2

．
（2）在△ABC中，由正弦定理得

BC

sinA

=

AC

sinB

，
得sinA=

BC×sinB

AC

=

1× 14 4

2

=

7

4

，
∴cosA=

1-sin2A

=

1- 7 16

=

3

4

．
∴sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB
=

7

4

×

2

4

-

3

4

×

14

4

=-

14

8

点评：此题考查了三角函数的恒等变形，正弦定理及余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．