题目内容
（2013•资阳二模）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
a-2csinA=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=2，求a+b的最大值．
| 3 |
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=2，求a+b的最大值．
分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0求出sinC的值，由三角形为锐角三角形，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）由c与cosC的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，利用基本不等式即可求出a+b的最大值．
（Ⅱ）由c与cosC的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，利用基本不等式即可求出a+b的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由
a-2csinA=0，及正弦定理，得
sinA-2sinCsinA=0，
∵sinA≠0，
∴sinC=
，
∵△ABC是锐角三角形，
∴C=
；
（Ⅱ）∵c=2，C=
，∴由余弦定理得：a2+b2-2abcos
=4，即a2+b2-ab=4，
∴（a+b）2=4+3ab≤4+3•（
）2，即（a+b）2≤16，
∴a+b≤4，当且仅当a=b=2取“=”，
则a+b的最大值是4．
| 3 |
| 3 |
∵sinA≠0，
∴sinC=
| ||
| 2 |
∵△ABC是锐角三角形，
∴C=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）∵c=2，C=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴（a+b）2=4+3ab≤4+3•（
| a+b |
| 2 |
∴a+b≤4，当且仅当a=b=2取“=”，
则a+b的最大值是4．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．
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