Question

【题目】【2017南通二模19】已知函数，，其中e为自然对数的底数．

（1）求函数在x1处的切线方程；

（2）若存在，使得成立，其中为常数，

求证：；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解：（1）因为，所以，故．

所以函数在x1处的切线方程为，

即．

（2）由已知等式得．

记，则．

假设．

①若，则，所以在上为单调增函数．

又，所以，与矛盾．

②若，记，则．

令，解得．

当时，，在上为单调增函数；

当时，，在上为单调减函数．

所以，所以，

所以在上为单调增函数．

又，所以，与矛盾．

综合①②，假设不成立，所以．9分

（3）由得．

记，，

则．

①当时，因为，，所以，

所以在上为单调增函数，所以，

故原不等式恒成立．1

②法一：

当时，由（2）知，，

当时，，为单调减函数，

所以，不合题意．

法二：

当时，一方面．

另一方面，，．

所以，使，又在上为单调减函数，

所以当时，，故在上为单调减函数，

所以，不合题意．

综上，．1